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第5章 リーマン曲率テンソル

曲がりを「微分の非可換性」で測る

前章で、正規座標を使えば一階の情報まで平らにできる、でも二階＝曲率は消せないと見ました。では曲率を、 どう厳密に取り出すか。微分幾何学で予告した方法——共変微分の順序を変えたときの ずれ——を、リーマン多様体で本格的に展開します。

直感はこうです。平らな空間では、ベクトルを平行移動した結果は経路によらない（微分の順序が交換可能）。 曲がった空間では、閉じた道を一周して平行移動すると、ベクトルが回転して戻る（微分幾何の 球面の例）。この「一周のずれ」を無限小で測るのが、∇X∇Y−∇Y∇X\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X の非可換性。それが リーマン曲率テンソルです。

リーマン曲率テンソル＝共変微分の順序交換のずれ ∇X∇Y−∇Y∇X−∇[X,Y]\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X-\nabla_{[X,Y]}。平坦なら 00、曲がっていれば非ゼロ。

リーマン曲率テンソル

定義 リーマン曲率テンソル

ベクトル場 X,Y,ZX,Y,Z に対し

R(X,Y)Z=∇X∇YZ−∇Y∇XZ−∇[X,Y]ZR(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_Y Z-\nabla_Y\nabla_X Z-\nabla_{[X,Y]}Z

をリーマン曲率テンソルという。座標では R(∂i,∂j)∂k=∑lRkijl∂lR(\partial_i,\partial_j)\partial_k=\sum_l R^l_{kij}\partial_l、 RkijlR^l_{kij} はクリストッフェル記号とその微分で書ける（＝計量の二階微分まで）。

−∇[X,Y]Z-\nabla_{[X,Y]}Z の項は、X,YX,Y が可換でない分の補正で、これを入れると R(X,Y)ZR(X,Y)Z が各点の値だけで決まる テンソルになります（微分幾何で確認した仕組み）。微分を含む定義なのに、展開すると 微分項が相殺して純粋な代数量になる——「非可換性という現象が、点ごとの数に凝縮される」のが要点です。

定理 R はテンソル

R(X,Y)ZR(X,Y)Z は X,Y,ZX,Y,Z の各々について関数線形。ゆえに pp 点での値は Xp,Yp,ZpX_p,Y_p,Z_p だけで決まる（微分の履歴に よらない）。

曲率テンソルの対称性

レヴィ–チヴィタ接続の曲率には、豊かな対称性があります。Rijkl=g(R(∂k,∂l)∂j,∂i)R_{ijkl}=g(R(\partial_k,\partial_l)\partial_j,\partial_i) と 四つ添字を下げて書くと見やすい。これらは断面曲率・リッチ曲率（第6・7章）や一般相対論のアインシュタイン方程式で 本質的です。

定理 曲率の対称性

RijklR_{ijkl} は次をみたす：

  1. 反対称：Rijkl=−Rjikl=−RijlkR_{ijkl}=-R_{jikl}=-R_{ijlk}。
  2. 対交換：Rijkl=RklijR_{ijkl}=R_{klij}。
  3. 第一ビアンキ恒等式：Rijkl+Riklj+Riljk=0R_{ijkl}+R_{iklj}+R_{iljk}=0。
  4. 第二ビアンキ恒等式：∇mRijkl+∇kRijlm+∇lRijmk=0\nabla_m R_{ijkl}+\nabla_k R_{ijlm}+\nabla_l R_{ijmk}=0（微分の恒等式）。

反対称性（1）は「二平面の向きを反転すると符号が変わる」、対交換（2）は計量両立から来ます。これらの対称性で、 nn 次元での曲率テンソルの独立成分は n2(n2−1)12\frac{n^2(n^2-1)}{12} 個に減ります——22 次元で 11 個（ガウス曲率）、 33 次元で 66 個、44 次元（時空）で 2020 個。第二ビアンキ恒等式（4）は微分に関する恒等式で、これを縮約すると アインシュタイン方程式の保存則（第12章）が出ます。

注意 第二ビアンキ恒等式が物理を守る

第二ビアンキ恒等式を二回縮約すると、アインシュタインテンソル Gij=Rij−12RgijG_{ij}=R_{ij}-\frac12 R g_{ij} が ∇iGij=0\nabla^i G_{ij}=0（発散ゼロ）をみたすことが従う。一般相対論では、これがエネルギー・運動量の保存 ∇iTij=0\nabla^i T_{ij}=0 を保証する（アインシュタイン方程式 Gij=8πTijG_{ij}=8\pi T_{ij}、第12章）。純粋に幾何的な恒等式が、 物理の保存則を強制する——リーマン幾何が相対論の骨格である理由。

平坦性の判定

曲率テンソルは「その空間がどれだけユークリッドから外れているか」を測ります。R≡0R\equiv0 は「局所的に平ら」の 正確な意味です。

定理 平坦 ⟺ 局所ユークリッド

リーマン多様体が R≡0R\equiv0（曲率テンソルが恒等的にゼロ）  ⟺  \iff 各点の近傍で計量がユークリッド計量 δij\delta_{ij} に （座標変換で）一致する（局所平坦）。このとき平行移動は経路によらない。

R≡0R\equiv0 なら、平行移動が経路によらなくなり、正規直交枠を平行移動で大域的に広げてユークリッド座標が作れる。 逆にユークリッドなら Γ=0\Gamma=0 で R=0R=0。曲率テンソルは、平坦からのずれを完全に捉える——一点でも R≠0R\ne0 なら、その空間はどんな座標でも平らにできません。円柱が R=0R=0（平面を丸めただけ、微分幾何の 驚異の定理）で球面が R≠0R\ne0、という区別がここに含まれます。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 曲率は微分の非可換性。 ∇X∇Y−∇Y∇X\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X のずれ。平坦で 00、曲がって非ゼロ。−∇[X,Y]-\nabla_{[X,Y]} は テンソル化のための補正。
  • RR はテンソル（各点で決まる）。 微分を含む定義なのに、展開すると微分項が消え代数量になる。「非可換性が 点ごとの数に凝縮」。
  • R≡0R\equiv0 は「局所」平坦。 大域では円柱・トーラスのように R=0R=0 でも曲がって見える（内在的には平ら）。 局所ユークリッドと大域の形は別。
  • 独立成分は n2(n2−1)12\frac{n^2(n^2-1)}{12}。 22 次元で 11（ガウス曲率）、44 次元で 2020。次元で曲率の“豊かさ”が違う。

この章のまとめ

  • リーマン曲率テンソル R(X,Y)Z=∇X∇YZ−∇Y∇XZ−∇[X,Y]ZR(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_Y Z-\nabla_Y\nabla_X Z-\nabla_{[X,Y]}Z＝共変微分の順序交換のずれ＝平行移動の経路依存。展開すると微分項が消えテンソル（各点で決まる）。
  • 豊かな対称性（反対称・対交換・第一/第二ビアンキ）。独立成分 n2(n2−1)12\frac{n^2(n^2-1)}{12}（22 次元で 11、44 次元で 2020）。第二ビアンキが相対論の保存則を強制。
  • R≡0R\equiv0 ⟺ 局所ユークリッド。曲率テンソルは平坦からのずれを完全に捉える。
  • 曲率テンソルは成分が多い。次章では、これを二平面ごとの一つの数に凝縮した断面曲率を導入し、定曲率空間（球面・平坦・双曲）を見ます。

次章では、断面曲率（各二平面のガウス曲率）を定義し、正・零・負の定曲率空間——球面・ユークリッド・双曲——を、ポアンカレ円盤で体感します。