第6章断面曲率と定曲率空間

曲率を一つの数に凝縮する

前章のリーマン曲率テンソル $R$ は成分が多く、直感が掴みにくい。そこで、 $R$ から二平面ごとに一つの数を取り出します。接空間の中に $2$ 次元平面 $\sigma$ を選び、その平面が「どれだけ曲がっているか」を測る——これが断面曲率です。 $2$ 次元曲面のガウス曲率（微分幾何）を、高次元の各二平面へ一般化したものです。

断面曲率は、曲率テンソルの情報を完全に含みつつ（すべての二平面の値から $R$ が復元できる）、幾何的意味が明快です。「その方向の面が、球のように膨らむ（正）か、鞍のように反る（負）か、平ら（零）か」。

断面曲率 $K(\sigma)$ ＝接空間の二平面 $\sigma$ の曲がり具合＝その方向のガウス曲率。曲率テンソルを一つの数に凝縮。

断面曲率

定義断面曲率

接空間 $T_pM$ 内の一次独立な $u,v$ が張る二平面 $\sigma$ に対し、

K(\sigma)=\frac{g\big(R(u,v)v,\ u\big)}{|u|^2|v|^2-g(u,v)^2}

を断面曲率という。分母は $u,v$ の張る平行四辺形の面積の二乗（規格化）で、 $K$ は $\sigma$ だけに依存し $u,v$ の取り方によらない。

定理断面曲率と曲面のガウス曲率

$M$ の一点 $p$ で二平面 $\sigma$ を選び、 $\exp_p(\sigma)$ で作った二次元部分多様体（測地的曲面）のガウス曲率は $K(\sigma)$ に一致する。すなわち断面曲率は「その方向の二次元断面の内在的曲がり」。

これで微分幾何の環が閉じます。曲面のガウス曲率 $K$ ——外在的に定義したのに内在的だった（驚異の定理）あの量——が、リーマン曲率テンソルの断面曲率として、高次元へ自然に住まいを得ました。断面曲率の符号は、その方向の面が球型（ $K>0$ ）か鞍型（ $K<0$ ）か円柱・平面型（ $K=0$ ）かを表します。

三つの定曲率空間

どの点・どの二平面でも断面曲率が同じ定数 $K$ になる空間——定曲率空間——は、リーマン幾何の“標準模型”です。比較定理（第10・11章）は、一般の空間をこれらと比べて調べます。 $K$ の符号で三種類、それぞれ最も対称的な空間が実現します。

定理単連結定曲率空間の分類

断面曲率が定数 $K$ の単連結完備リーマン多様体は、次のいずれかに（相似を除いて）一致する：

$K>0$ ：球面 $S^n$ （半径 $1/\sqrt K$ ）。三角形の内角和 $>180^\circ$ 。
$K=0$ ：ユークリッド空間 $\mathbb R^n$ 。内角和 $=180^\circ$ 。
$K<0$ ：双曲空間 $\mathbb H^n$ （前章の $\frac{dx^2+dy^2}{y^2}$ など）。内角和 $<180^\circ$ 。

$K>0$ は球面（有限で閉じている）、 $K=0$ は平らなユークリッド、 $K<0$ は双曲空間（無限に広がり、指数的に “ふくらむ”）。この三分法が、幾何のもっとも基本的な三つの世界です。球面はおなじみですが、負曲率の双曲空間はイメージしにくい。ポアンカレ円盤モデルで体感しましょう。

三角形の大きさ＝ 0.55

外周の円が「無限遠」、測地線は境界に直交する円弧です。三角形を大きくすると、内角の和が $180^\circ$ からどんどん小さくなり、角の欠損 $\pi-(\alpha+\beta+\gamma)$ がちょうど面積（ガウス–ボンネ $K=-1$ 、微分幾何の負曲率版）。球面（正曲率）では三角形が“太る”（内角和 $>180^\circ$ ）のに対し、双曲では“やせる”。同じガウス–ボンネが、曲率の符号で逆向きに働きます。

注意平行線公理の三つの運命

定曲率空間は、ユークリッドの「平行線公理」の三つの運命を体現する。 $K=0$ ：直線外の一点を通る平行線は ちょうど一本（ユークリッド）。 $K>0$ ：平行線は存在しない（球面上の大円はすべて交わる）。 $K<0$ ：平行線は 無限に多い（双曲平面、ポアンカレ円盤で一点から交わらない測地線が無数に引ける）。二千年の平行線問題の答えが、断面曲率の符号だった——非ユークリッド幾何の発見が、リーマン幾何を生んだ歴史の核心。

断面曲率が幾何を支配する

断面曲率の符号は、局所を超えて空間の大域的な形を左右します。次章以降の主題を先取りすると——

注意曲率の符号が決めること（第8〜11章への地図）

$K>0$ （正曲率）：測地線が収束する（第8章ヤコビ場・共役点）。空間は有界・コンパクトになりがち（第10章ボンネ–マイヤー：球のように閉じる）。
$K\le0$ （非正曲率）：測地線が発散し、共役点がない。空間は $\mathbb R^n$ に微分同相で、二点を結ぶ測地線が一意（第11章カルタン–アダマール：双曲空間のように開いて広がる）。「曲がりの符号 → 測地線の収束/発散 → 空間の大域的な形」という因果が、リーマン幾何の大河ドラマ。

つまずきポイント

注意よくある誤解

断面曲率は二平面ごとの数。 高次元では一つの数でなく、選んだ二平面に依存。曲面（ $2$ 次元）だけは一つ＝ガウス曲率。全二平面の値で曲率テンソルが復元される。
定曲率は三種類（ $K$ の符号）。 球面（正）・ユークリッド（零）・双曲（負）。単連結完備ならこれで尽きる。
双曲平面の内角和 $<180^\circ$ 、球面は $>180^\circ$ 。 ガウス–ボンネが符号で逆向き。ポアンカレ円盤では三角形が “やせる”。
平行線公理は曲率で決まる。 一本（ $K=0$ ）・なし（ $K>0$ ）・無限（ $K<0$ ）。非ユークリッド幾何の正体。

この章のまとめ

断面曲率 $K(\sigma)$ ＝接空間の二平面 $\sigma$ の曲がり＝その方向の二次元断面のガウス曲率。微分幾何のガウス曲率を高次元へ。全二平面の値で曲率テンソルが復元。
定曲率空間は三種：球面（ $K>0$ 、内角和 $>180^\circ$ ）・ユークリッド（ $K=0$ ）・双曲空間（ $K<0$ 、内角和 $<180^\circ$ 、ポアンカレ円盤）。平行線公理の三つの運命（一本・なし・無限）。
曲率の符号が測地線の収束/発散を通じて大域的な形を支配する（第8〜11章）。
断面曲率は方向ごとの詳しい情報。次章では、それを方向について平均した粗い曲率——リッチ曲率とスカラー曲率を導入します。

次章では、断面曲率を縮約したリッチ曲率・スカラー曲率を定義し、それらが体積の増減とどう結びつくかを見ます。

第6章 断面曲率と定曲率空間