第1章リーマン計量

地図に縮尺を入れる

多様体論で、なめらかな空間——多様体——を作りました。でもそこには、まだ長さも角度も ありません。地図はあるのに縮尺が無い状態です。二点がどれくらい離れているか、二つの方向がどんな角度をなすか、領域の面積はいくつか——こうした「測る」ことが、まだできない。

微分幾何学では、 $\mathbb R^3$ に埋め込まれた曲面に、外の空間から長さを借りて測りました（第一基本形式）。でもガウスの驚異の定理が教えたのは、曲がりの本質は内在的——面の上の距離だけで決まる、ということでした。ならば、外の空間なしに、多様体そのものに「ものさし」を直接入れればいい。それがリーマン計量です。各点で接ベクトルの長さと角度を測る内積を、なめらかに配る。これで初めて距離・面積・最短経路が定義でき、本物の幾何が始まります。

リーマン計量＝各点の接空間に配られた内積。外の空間に頼らず、多様体そのものに長さ・角度・面積を与える。

リーマン計量の定義

定義リーマン計量・リーマン多様体

可微分多様体 $M$ の各点 $p$ の接空間 $T_pM$ に、内積 $g_p(\cdot,\cdot)$ （正定値対称双線形形式）がなめらかに（ $p$ について $C^\infty$ に）与えられているとき、 $g$ をリーマン計量、組 $(M,g)$ をリーマン多様体という。局所座標 $(x^1,\dots,x^n)$ では

g=\sum_{i,j}g_{ij}\,dx^i\,dx^j,\qquad g_{ij}(p)=g_p\!\left(\frac{\partial}{\partial x^i},\frac{\partial}{\partial x^j}\right)

と対称正定値行列 $(g_{ij})$ で表される（計量テンソル）。

これは微分幾何の第一基本形式 $E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2$ を、任意次元の抽象多様体へ一般化したものです（ $g_{11}=E,\ g_{12}=F,\ g_{22}=G$ ）。ちがいは、もう外の空間を仮定しないこと。 $g_{ij}$ は「この多様体に内在する長さの測り方」そのものです。計量が決まれば、面上のあらゆる測定が計算できます。

定理計量で測れるもの

リーマン多様体 $(M,g)$ で、

接ベクトルの長さ： $|v|=\sqrt{g_p(v,v)}$ 、角度： $\cos\theta=\dfrac{g_p(v,w)}{|v||w|}$ 。
曲線 $\gamma$ の長さ： $\displaystyle L(\gamma)=\int_a^b|\gamma'(t)|\,dt=\int_a^b\sqrt{g_{\gamma(t)}(\gamma',\gamma')}\,dt$ 。
距離： $d(p,q)=\inf\{L(\gamma):\gamma\text{ は }p,q\text{ を結ぶ曲線}\}$ 。 $(M,d)$ は距離空間になる。
体積： $\mathrm{vol}=\int_M\sqrt{\det(g_{ij})}\,dx^1\cdots dx^n$ 。

「距離＝曲線の長さの下限」という定義に注目してください。二点間をつなぐあらゆる道の長さを比べ、最短をとる。まっすぐな道が無い曲がった空間では、これが唯一自然な距離の定め方です。この最短の道こそ、第3章の測地線になります。

例——曲がった空間のものさし

具体的な計量で感覚を掴みます。同じ座標でも、 $g_{ij}$ の入れ方で幾何がまるで変わります。

例リーマン計量の例（易→難）

ユークリッド空間 $\mathbb R^n$ ： $g=dx_1^2+\cdots+dx_n^2$ （ $g_{ij}=\delta_{ij}$ ）。おなじみの平らな計量。
球面 $S^2$ （半径 $1$ ）： $g=d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2$ 。極（ $\theta\to0$ ）で $\sin^2\theta\to0$ ——経度方向の実距離が縮む（微分幾何の球面計量の回収）。正曲率。
双曲平面 $\mathbb H^2$ （上半平面 $y>0$ ）： $g=\dfrac{dx^2+dy^2}{y^2}$ 。上へ行くほど距離が縮む（下では引き伸ばされる）。負曲率、第6・11章の主役。
回転体・グラフ：埋め込みから誘導された計量。微分幾何の曲面はすべてこの特別な場合。

双曲平面の計量 $\frac{dx^2+dy^2}{y^2}$ は、外の空間なしに「負に曲がった世界」を定義します。 $y$ で割るせいで、高いところの距離が縮む——この一つの式が、三角形の内角和が $180^\circ$ 未満になる非ユークリッド幾何を生む。計量を書き下すだけで、まったく新しい幾何が手に入るのです。

注意計量は座標に依存し、幾何は依存しない

$g_{ij}$ は座標の取り方で変わる（座標変換で $g_{ij}$ は二階共変テンソルとして変換）。だが「距離」「角度」「曲率」といった測定結果は座標によらない。座標依存の成分 $g_{ij}$ と、座標によらない内在的な幾何を区別するのが、リーマン幾何を読む基本姿勢。微分幾何の「 $E,F,G$ は座標依存、長さは不変」と同じ精神。

リーマン計量はいつでも入る

抽象的な多様体に、そもそも計量を入れられるのか。答えは「（ハウスドルフ・第二可算なら）いつでも」。多様体論の道具——1の分割——が保証します。

定理計量の存在

（第二可算な）可微分多様体には、必ずリーマン計量が存在する。

証明

各座標近傍で標準的なユークリッド計量を取り、1の分割（各点で有限個だけ非ゼロの、和が $1$ のなめらかな関数の族）で貼り合わせる。正定値対称形式の正の一次結合は正定値なので、貼り合わせた $g$ もリーマン計量。∎

局所的には自明な（ユークリッド）計量を、1の分割でなめらかに繋ぐ。正定値性が一次結合で保たれるのが効きます。「計量はいつでも入る」——だからリーマン幾何は、あらゆる多様体で展開できる普遍的な枠組みなのです。

つまずきポイント

注意よくある誤解

計量は「各点ごとの内積」。 一つの内積ではなく、点 $p$ ごとに $g_p$ が配られ、 $p$ についてなめらかに変わる。だから場所ごとに測り方が違う（球の極で縮む、双曲で上ほど縮む）。
外の空間は要らない。 リーマン多様体は埋め込みを仮定しない。計量が最初から与えられる（驚異の定理が内在性を保証したから、微分幾何）。
$g_{ij}$ は座標依存、幾何は不変。 成分は座標で変わるが距離・角度・曲率は変わらない。混同しない。
距離は「曲線長の下限」。 直線がない空間での自然な距離。この最短を実現するのが測地線（第3章）。

この章のまとめ

リーマン計量 $g$ ＝各点の接空間に配られた内積（正定値対称、なめらか）。局所で対称正定値行列 $(g_{ij})$ 。微分幾何の第一基本形式を抽象多様体へ一般化し、外の空間に頼らない。
計量から長さ・角度・距離・体積がすべて定義できる。距離は「曲線長の下限」。例：ユークリッド、球面 $d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2$ 、双曲 $\frac{dx^2+dy^2}{y^2}$ 。
計量はいつでも存在（1の分割で貼り合わせ、正定値性が一次結合で保存）。リーマン幾何は普遍的な枠組み。
ものさしは入った。だが「まっすぐ運ぶ・微分する」にはまだ接続が要る。次章では、計量から一意に定まる接続——レヴィ–チヴィタ接続を、完全な証明とともに構成します。

次章では、計量と両立し捩れのない接続がただ一つ存在すること（リーマン幾何学の基本定理）を証明し、クリストッフェル記号を計量で書き下します。

第1章 リーマン計量