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第1章 複素微分とコーシー–リーマン方程式

「複素数で微分できる」は、なぜそんなに特別なのか

微積分で見たように、実関数の微分可能性はわりと緩い条件でした。無限回微分できてもテイラー級数が 元に戻らない病的な関数すらある（微積分第6章の e−1/x2e^{-1/x^2}）。ところが、舞台を複素数に移して 「複素数として微分できる（正則）」という条件を課すと、状況が一変します。一度微分できれば自動的に何回でも 微分でき、必ずべき級数に展開でき、値は境界だけで決まる——実解析での「例外」が、複素解析では「定理」になる。

なぜこんなに強いのか。カギは、微分の定義に現れる極限 h→0h\to0 が、複素数では平面上のあらゆる方向から 00 に近づける点にあります。実数では左右2方向だけでしたが、複素数では無限の方向。そのすべてで同じ極限をもて、 という要求が、途方もなく強い制約——コーシー–リーマン方程式——を課すのです。この章で、その制約を導きます。

複素微分は「あらゆる方向からの極限が一致」を要求する超強力な条件。その帰結がコーシー–リーマン方程式。

複素数と複素平面

複素数 z=x+iyz=x+iy（x,y∈Rx,y\in\mathbb R、i2=−1i^2=-1）は平面上の点 (x,y)(x,y)。絶対値 ∣z∣=x2+y2|z|=\sqrt{x^2+y^2}、共役 zˉ=x−iy\bar z=x-iy、 極形式 z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=reiθz=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}（r=∣z∣r=|z|、θ=arg⁡z\theta=\arg z が偏角）。掛け算は「絶対値を掛け、偏角を足す」 ＝回転と拡大——この幾何的意味が、複素微分の等角性（第2章）に直結します。C\mathbb C は 体であり、代数閉体（代数学の基本定理、本章第5章で証明）でもあります。

複素微分

定義 複素微分・正則

領域（連結開集合）D⊆CD\subseteq\mathbb C 上の関数 ff が点 z0z_0 で複素微分可能とは、極限 f′(z0)=lim⁡h→0f(z0+h)−f(z0)h(h∈C)f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\qquad(h\in\mathbb C) が存在すること。DD の各点で複素微分可能な ff を DD 上正則（holomorphic）という。

形は実微分とまったく同じ。決定的な違いは h∈Ch\in\mathbb C で、hh が平面上のどの方向から 00 に近づいても、 商が同じ値 f′(z0)f'(z_0) に収束せねばならないこと。この「方向によらない」という一点が、次の方程式を強制します。

コーシー–リーマン方程式

f=u+ivf=u+iv（u,vu,v は実部・虚部、x,yx,y の実関数）と書き、hh を実軸方向・虚軸方向から近づけて比較します。

定理 コーシー–リーマン方程式（必要性）

f=u+ivf=u+iv が z0=x0+iy0z_0=x_0+iy_0 で複素微分可能なら、u,vu,v は (x0,y0)(x_0,y_0) で偏微分可能で  ∂u∂x=∂v∂y,∂u∂y=−∂v∂x (コーシー–リーマン方程式).\boxed{\ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\ }\qquad(\text{コーシー–リーマン方程式}). このとき f′(z0)=ux+ivx=vy−iuyf'(z_0)=u_x+iv_x=v_y-iu_y。

証明

極限は方向によらないので、2通りの近づけ方で計算して等値する。 実軸方向 h=t (t∈R, t→0)h=t\ (t\in\mathbb R,\ t\to0)： f′(z0)=lim⁡t→0f(z0+t)−f(z0)t=ux+ivx.f'(z_0)=\lim_{t\to0}\frac{f(z_0+t)-f(z_0)}{t}=u_x+iv_x. 虚軸方向 h=it (t→0)h=it\ (t\to0)： f′(z0)=lim⁡t→0f(z0+it)−f(z0)it=1i(uy+ivy)=vy−iuy.f'(z_0)=\lim_{t\to0}\frac{f(z_0+it)-f(z_0)}{it}=\frac1i(u_y+iv_y)=v_y-iu_y. 両者が等しいので、実部・虚部を比較して ux=vyu_x=v_y、vx=−uyv_x=-u_y。∎

証明はたった2行の計算——「実軸方向」と「虚軸方向」からの極限を等しいと置くだけ。でも、たった2方向を 比べただけでこれだけの制約が出る。全方向で一致することの、ほんの一部を使っただけでこの強さです。逆も （少し条件を足せば）成り立ちます。

定理 コーシー–リーマン方程式（十分性）

領域 DD 上で u,vu,v が C1C^1 級（偏微分が存在して連続）で、コーシー–リーマン方程式を満たすなら、f=u+ivf=u+iv は DD 上正則。

証明

C1C^1 ゆえ u,vu,v は全微分可能（微積分第9章）：Δu=uxΔx+uyΔy+o(∣h∣)\Delta u=u_x\Delta x+u_y\Delta y+o(|h|) 等。 h=Δx+iΔyh=\Delta x+i\Delta y として Δf=Δu+iΔv\Delta f=\Delta u+i\Delta v を CR 方程式で整理すると Δf=(ux+ivx)(Δx+iΔy)+o(∣h∣)=(ux+ivx)h+o(∣h∣)\Delta f=(u_x+iv_x)(\Delta x+i\Delta y)+o(|h|)=(u_x+iv_x)h+o(|h|)。ゆえ Δfh→ux+ivx\dfrac{\Delta f}{h}\to u_x+iv_x（方向によらず）、複素微分可能。∎

十分性の証明で、微積分の全微分（C1⇒C^1\Rightarrow 全微分可能）が本質的に効いています。CR 方程式は 「u,vu,v の変化がちょうど『複素数 (ux+ivx)(u_x+iv_x) を掛ける』形にまとまる」ための条件——だから複素微分が 方向によらず定まるのです。

例 正則な関数・そうでない関数

  • f(z)=z2=(x2−y2)+i(2xy)f(z)=z^2=(x^2-y^2)+i(2xy)：ux=2x=vyu_x=2x=v_y、uy=−2y=−vxu_y=-2y=-v_x。CR 成立、正則。f′(z)=2zf'(z)=2z。
  • f(z)=zˉ=x−iyf(z)=\bar z=x-iy：ux=1, vy=−1u_x=1,\ v_y=-1 で ux≠vyu_x\ne v_y。CR を満たさず、どこでも正則でない。「共役をとる」は複素微分できない。
  • f(z)=∣z∣2=x2+y2f(z)=|z|^2=x^2+y^2（v=0v=0）：CR は 2x=0, 2y=02x=0,\ 2y=0、すなわち原点でのみ複素微分可能だが、00 の近傍で正則でない。

zˉ\bar z や ∣z∣2|z|^2 が正則でないのが要点です。「複素数を実部・虚部でいじる」自然な操作の多くは、複素微分できない。 正則性は、それほど特別で稀な性質なのです。

正則性の言い換え：∂zˉf=0\partial_{\bar z}f=0

CR 方程式は、ヴィルティンガー微分を使うと一行で書けます。この形が正則性の本質を鮮やかに表します。

定義 ヴィルティンガー微分と正則性

∂∂z=12(∂∂x−i∂∂y)\dfrac{\partial}{\partial z}=\dfrac12\Big(\dfrac{\partial}{\partial x}-i\dfrac{\partial}{\partial y}\Big)、∂∂zˉ=12(∂∂x+i∂∂y)\dfrac{\partial}{\partial\bar z}=\dfrac12\Big(\dfrac{\partial}{\partial x}+i\dfrac{\partial}{\partial y}\Big) とおくと、 CR 方程式は ∂f∂zˉ=0\frac{\partial f}{\partial\bar z}=0 と同値。ff が正則   ⟺  f\iff f は「zˉ\bar z に依存しない」（zz だけの関数）。

「正則 ＝ zˉ\bar z を含まない」——z2z^2 は正則、zˉ\bar z や ∣z∣2=zzˉ|z|^2=z\bar z は zˉ\bar z を含むので正則でない。この直感は 非常に使えます。多項式・べき級数・ez,sin⁡ze^z,\sin z など「zz だけで書ける」ものが正則、共役や実部・絶対値が 混じると正則でない、と即座に見分けられます。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 複素微分は実微分より遥かに強い。 h→0h\to0 が全方向で一致を要求。R2→R2\mathbb R^2\to\mathbb R^2 の写像として全微分可能でも、CR を満たさなければ複素微分できない。
  • CR 方程式だけでは正則を保証しない。 偏微分の連続性（C1C^1）も要る（病的な反例がある）。実用上は C1C^1＋CR で正則。
  • zˉ, ∣z∣, Re⁡z\bar z,\ |z|,\ \operatorname{Re}z は正則でない。 「zˉ\bar z を含む」から。正則＝ zz だけの関数（∂zˉf=0\partial_{\bar z}f=0）。
  • f′(z)f'(z) は一つの複素数。 方向によらず定まる（それが複素微分可能の意味）。実の方向微分のように方向ごとに違う値、ではない。

この章のまとめ

  • 複素微分は h→0h\to0 が平面の全方向で同じ極限をもつことを要求する、実微分より遥かに強い条件。C\mathbb C の掛け算＝回転＋拡大。
  • 実部・虚部で書くとコーシー–リーマン方程式 ux=vy, uy=−vxu_x=v_y,\ u_y=-v_x が必要。C1C^1＋CR なら十分（正則）。f′=ux+ivxf'=u_x+iv_x。
  • 一行で書くと ∂zˉf=0\partial_{\bar z}f=0：正則 ＝ zˉ\bar z を含まない（zz だけの関数）。zˉ,∣z∣2\bar z,|z|^2 は正則でない——正則性は特別で稀な性質。

次章は、正則関数の幾何的な意味——調和関数との関係と、角度を保つ等角性を可視化しながら見ます。