第11章円分体

「1 の n 乗根」がつくる、美しい対称性

$1$ の $n$ 乗根—— $z^n=1$ の解——は、複素平面で単位円周を $n$ 等分する点 $\zeta_n^k=e^{2\pi ik/n}$ です。これらを $\mathbb Q$ に添加した体 $\mathbb Q(\zeta_n)$ を円分体といいます。正 $n$ 角形の頂点を生成する、幾何と代数が出会う体です。

円分体はガロア理論の宝石です。そのガロア群は $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$ （ $\bmod\,n$ の単元群、環論第1章）という 具体的で可換な群——つまり円分体は $\mathbb Q$ のアーベル拡大です。この明快さのおかげで、 $2000$ 年の難問「どの正 $n$ 角形が定規とコンパスで作図できるか」に、ガウスが完全な答えを与えられました。第5章の作図理論とガロア群の計算が結びつく、この章はガロア理論の応用の白眉です。

円分体 $\mathbb Q(\zeta_n)$ のガロア群は $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$ （可換）。正 $n$ 角形が作図可能 $\iff n=2^k\times$ （相異なるフェルマー素数の積）。

円分多項式

定義 1 のべき根・円分多項式

$z^n=1$ の解を $1$ の $n$ 乗根、位数がちょうど $n$ のもの（ $\zeta^d\ne1\ (0<d<n)$ ）を原始 $n$ 乗根という。原始 $n$ 乗根は $\varphi(n)$ 個あり（ $\varphi$ はオイラー関数）、円分多項式を $\Phi_n(x)=\prod_{\substack{1\le k\le n\\ \gcd(k,n)=1}}(x-\zeta_n^k)\quad(\deg\Phi_n=\varphi(n))$ で定める。 $x^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(x)$ 。

$\Phi_n$ は一見複素係数ですが、実は整数係数です（ $x^n-1$ から約分で得られる）。そして既約——これが拡大次数を決めます。

定理円分多項式の既約性（ガウス）

$\Phi_n(x)\in\mathbb Z[x]$ は $\mathbb Q$ 上既約。ゆえ $\Phi_n$ は原始 $n$ 乗根 $\zeta_n$ の最小多項式で $[\mathbb Q(\zeta_n):\mathbb Q]=\varphi(n).$

証明

（要点。） $\zeta$ を原始 $n$ 乗根、 $p\nmid n$ を素数とする。 $\zeta^p$ も原始 $n$ 乗根。 $\zeta$ の最小多項式 $f$ と $\zeta^p$ の最小多項式 $g$ が異なると仮定すると、 $f,g\mid\Phi_n$ で $f(x),g(x^p)$ が $\zeta$ を共通根にもつ。 $\bmod\,p$ で還元すると $\bar g(x^p)=\bar g(x)^p$ （フロベニウス）となり $\bar f,\bar g$ が共通因子をもつ＝ $x^n-1$ が $\bmod\,p$ で重根——だが $p\nmid n$ ゆえ $x^n-1$ は $\mathbb F_p$ で分離的、矛盾。よって $\zeta$ と $\zeta^p$ は同じ最小多項式。 $\gcd(k,n)=1$ の $k$ は素因数の積なので、すべての原始根が同じ最小多項式をもち $f=\Phi_n$ 、既約。∎

$p=n$ 素数のときは環論第10章でアイゼンシュタインにより既約性を示しました。一般の $n$ では、この $\bmod\,p$ 還元とフロベニウスを使う議論になります。既約性から次数 $\varphi(n)$ が確定します。

ガロア群は (Z/n)˟

定理円分体のガロア群

$\mathbb Q(\zeta_n)/\mathbb Q$ はアーベルなガロア拡大で $\operatorname{Gal}(\mathbb Q(\zeta_n)/\mathbb Q)\ \cong\ (\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times,\qquad \sigma_a:\zeta_n\mapsto\zeta_n^a\ (\gcd(a,n)=1)\ \leftrightarrow\ a.$

証明

$\mathbb Q(\zeta_n)$ は $x^n-1$ （分離的、 $\gcd(x^n-1,nx^{n-1})=1$ ）の分解体ゆえガロア。各 $\sigma\in\operatorname{Gal}$ は $\zeta_n$ を別の原始 $n$ 乗根 $\zeta_n^a$ （ $\gcd(a,n)=1$ ）へ写し、 $a\bmod n\in(\mathbb Z/n)^\times$ が定まる。 $\sigma_a\sigma_b(\zeta)=\sigma_a(\zeta^b)=\zeta^{ab}=\sigma_{ab}(\zeta)$ ゆえ写像 $\sigma_a\mapsto a$ は準同型で単射。 $|\operatorname{Gal}|=[\mathbb Q(\zeta_n):\mathbb Q]=\varphi(n)=|(\mathbb Z/n)^\times|$ より同型。 $(\mathbb Z/n)^\times$ は可換ゆえアーベル拡大。∎

「 $\zeta_n\mapsto\zeta_n^a$ 」という単純な作用で、ガロア群が $\bmod\,n$ の単元群として完全に決まる。円分体は、ガロア群が最も具体的に計算できる拡大です。 $\mathbb Q$ 上のアーベル拡大がすべて円分体に含まれる（クロネッカー–ウェーバーの定理）という深い結果もあり、代数的整数論・類体論の出発点になります。

正多角形の作図可能性（ガウス）

第5章の作図理論と、円分体のガロア群を結ぶと、正多角形の作図問題が解けます。正 $n$ 角形の作図は $\zeta_n$ （の実部 $\cos\frac{2\pi}n$ ）の作図に帰着します。

定理ガウス–ワンツェルの定理

正 $n$ 角形が定規とコンパスで作図可能 $\iff$ $\zeta_n$ が作図可能 $\iff$ $n=2^k p_1p_2\cdots p_r\quad(p_i\ \text{は相異なる}\textbf{フェルマー素数}\ 2^{2^m}+1).$

証明

（要点。）第5章より $\zeta_n$ 作図可能 $\iff\mathbb Q(\zeta_n)$ が2次拡大の塔に入る。 $\operatorname{Gal}(\mathbb Q(\zeta_n)/\mathbb Q)\cong(\mathbb Z/n)^\times$ はアーベルなので、 $|(\mathbb Z/n)^\times|=\varphi(n)$ が $2$ のべきなら、 $2$ 群のアーベル群は位数 $2$ の部分群の列（組成列）をもち、基本定理で2次拡大の塔が得られる（作図可能）。逆に作図可能なら $[\mathbb Q(\zeta_n):\mathbb Q]=\varphi(n)$ は $2$ のべき。 $\varphi(n)=2^k\iff n=2^a p_1\cdots p_r$ （ $p_i$ 相異なる、 $\varphi(p_i)=p_i-1$ が $2$ べき $\iff p_i$ フェルマー素数）。∎

フェルマー素数は $3,5,17,257,65537$ （知られているのはこの $5$ 個）。だから正 $3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,\dots$ 角形は作図可能、正 $7,9,11,13,14$ 角形は不可能。 $19$ 歳のガウスが正 $17$ 角形の作図法を発見したのは、 $17=2^4+1$ がフェルマー素数で $\varphi(17)=16=2^4$ だから——ガロア群が $2$ 群であることが、コンパスの作図を可能にしたのです。「作図可能性が体のガロア群の構造で決まる」——ガロア理論の応用の頂点の一つです。

つまずきポイント

注意よくある誤解

円分多項式は整数係数で既約。 $\Phi_n$ の次数は $\varphi(n)$ （原始根の個数）。 $\Phi_p=x^{p-1}+\cdots+1$ （ $p$ 素数）。
ガロア群 $(\mathbb Z/n)^\times$ は可換だが巡回とは限らない。 $(\mathbb Z/8)^\times\cong\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$ （非巡回）。可換（アーベル拡大）なのは常に真。
フェルマー素数は $2^{2^m}+1$ の形の素数。 $3,5,17,257,65537$ のみ既知。作図可能な正多角形はこれらと $2$ べきの積。
正 $n$ 角形作図可能 $\iff\varphi(n)$ が $2$ べき。 ガロア群が $2$ 群 ⇒ 2次拡大の塔（作図可能）。ガロア理論と作図理論の合流。

この章のまとめ

円分体 $\mathbb Q(\zeta_n)$ は $1$ の原始 $n$ 乗根を添加した体。円分多項式 $\Phi_n$ （整数係数・既約・次数 $\varphi(n)$ ）が $\zeta_n$ の最小多項式で $[\mathbb Q(\zeta_n):\mathbb Q]=\varphi(n)$ 。
ガロア群は $(\mathbb Z/n)^\times$ （可換）、作用は $\zeta_n\mapsto\zeta_n^a$ 。円分体は $\mathbb Q$ のアーベル拡大。
ガウス–ワンツェル：正 $n$ 角形作図可能 $\iff n=2^k\times$ （相異なるフェルマー素数の積） $\iff\varphi(n)$ が $2$ べき。ガロア群が $2$ 群 ⇒ 作図可能。正 $17$ 角形がその名例。

最終章は、ガロア理論の最大の成果——べき根による可解性とアーベル–ルフィニの定理（5次方程式に解の公式が無い）を扱います。

第11章 円分体