第3章代数拡大と超越拡大

「方程式で捉えられる数」と「捉えられない数」

前章で、代数的な元 $\alpha$ （ある多項式の根）は有限次の単拡大を生むと分かりました。では、 $\sqrt2$ と $\sqrt3$ の両方を付け加えたら？ $\sqrt2+\sqrt[3]5$ は？こうした「代数的な元だけを付け加えた拡大」＝代数拡大が、ガロア理論の主舞台です。

驚くべきことに、代数的な数どうしの和・積・商はまた代数的——代数的元の全体は体をなします。さらに「代数的な数の上でさらに代数的なものは、元の体の上でも代数的」。この閉じた性質のおかげで、 $\overline{\mathbb Q}$ （代数的数全体）という美しい体が生まれます。一方、 $\pi$ や $e$ のようにどんな方程式でも捉えられない超越数も存在します（しかも“ほとんど”の数が超越数）。この章は、代数の世界の広がりと、その外側を見定めます。

有限拡大 ⇒ 代数拡大。代数的元の全体は体をなし、代数的の上の代数的も代数的。だが超越数（ $\pi,e$ ）も存在する。

有限拡大は代数拡大

定義代数拡大

拡大 $L/K$ が代数拡大とは、 $L$ のすべての元が $K$ 上代数的であること。

定理有限 ⇒ 代数

有限拡大 $L/K$ は代数拡大。

証明

$[L:K]=n<\infty$ とし、任意の $\alpha\in L$ をとる。 $1,\alpha,\alpha^2,\dots,\alpha^n$ は $n+1$ 個の元だが、 $L$ は $K$ 上 $n$ 次元なので一次従属（線形代数）。すなわち、すべては $0$ でない $c_i\in K$ で $\sum_{i=0}^n c_i\alpha^i=0$ 。これは $\alpha$ を根にもつ非零多項式 $\sum c_ix^i$ の存在を意味し、 $\alpha$ は代数的。∎

証明の心は「次元 $n$ の空間に $n+1$ 個のベクトルを置けば一次従属」という線形代数一発。 $1,\alpha,\dots,\alpha^n$ が従属することが、 $\alpha$ の満たす多項式を与えます。逆は成り立ちません（無限次の代数拡大 $\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q$ がある）が、「有限生成な代数拡大は有限」は成り立ちます。

代数的元は体をなす

定理代数的元の全体は中間体

$L/K$ において、 $K$ 上代数的な $L$ の元全体 $\overline K^{\,L}$ は $L$ の部分体（ $K$ を含む中間体）。すなわち、代数的な $\alpha,\beta$ の $\alpha\pm\beta,\ \alpha\beta,\ \alpha/\beta$ （ $\beta\ne0$ ）はすべて代数的。

証明

$\alpha,\beta$ 代数的とする。 $K(\alpha)/K$ は有限（次数 $\deg m_\alpha$ ）、 $\beta$ は $K$ 上代数的なので $K(\alpha)$ 上でも代数的、 $K(\alpha,\beta)/K(\alpha)$ も有限。塔の公式（第1章）より $[K(\alpha,\beta):K]=[K(\alpha,\beta):K(\alpha)][K(\alpha):K]<\infty$ 、すなわち $K(\alpha,\beta)/K$ は有限拡大、ゆえ代数拡大（上の定理）。 $\alpha\pm\beta,\alpha\beta,\alpha/\beta\in K(\alpha,\beta)$ はすべて $K$ 上代数的。∎

証明の鍵は塔の公式です。「 $\alpha,\beta$ を両方含む体 $K(\alpha,\beta)$ が有限次だから、その中の元は全部代数的」。 $\sqrt2+\sqrt3$ が代数的（実際 $x^4-10x^2+1$ の根）なのを、いちいち多項式を作らずに保証できます。この閉性から即座に次が出ます。

系代数的数体

複素数の中で $\mathbb Q$ 上代数的な数全体 $\overline{\mathbb Q}$ は体（代数的数体）。 $\mathbb Q\subsetneq\overline{\mathbb Q}\subsetneq\mathbb C$ で、 $\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q$ は無限次の代数拡大。

代数的の上の代数的は代数的

拡大を積み重ねても、代数性は保たれます（推移性）。これが代数拡大を「閉じた」良いクラスにします。

定理代数拡大の推移性

$K\subseteq L\subseteq M$ で $L/K$ と $M/L$ がともに代数拡大なら、 $M/K$ も代数拡大。

証明

$\alpha\in M$ をとる。 $M/L$ 代数的ゆえ $\alpha$ は $L$ 係数の多項式 $\alpha^n+b_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+b_0=0$ を満たす（ $b_i\in L$ ）。 $L/K$ 代数的ゆえ各 $b_i$ は $K$ 上代数的で、 $K(b_0,\dots,b_{n-1})/K$ は有限拡大（代数的元の有限添加）。 $\alpha$ はこの体 $K(\bar b)$ 上代数的（上の関係式）なので $K(\bar b,\alpha)/K(\bar b)$ も有限、塔の公式で $K(\bar b,\alpha)/K$ が有限。ゆえ $\alpha$ は $K$ 上代数的。∎

「 $L$ の係数で $\alpha$ の方程式が書けても、その係数 $b_i$ たちが $K$ 上代数的（有限次の世界に住む）なら、 $\alpha$ も結局有限次の世界に収まる」。塔の公式が繰り返し効いています。この推移性が、 $\overline{\mathbb Q}$ の代数閉包性（次章以降）の基礎になります。

超越数の存在

代数的でない数——超越数——は本当に存在するのか。カントールが濃度の議論（集合と位相第1章）で、一発で示しました。

定理超越数の存在（カントール）

$\overline{\mathbb Q}$ （代数的数全体）は可算。 $\mathbb R,\mathbb C$ は非可算。ゆえに超越数は非可算個存在する（“ほとんど”の数が超越的）。

証明

各代数的数は、ある $\mathbb Q$ 係数多項式の根。 $\mathbb Q$ 係数多項式は可算個（ $\mathbb Q$ が可算、集合と位相第1章）で、各多項式の根は有限個。ゆえ代数的数全体は「可算個の有限集合の和」で可算。だが $\mathbb R$ は非可算。よって $\mathbb R\setminus\overline{\mathbb Q}$ （超越数）は非可算。∎

数え上げだけで「超越数は存在する、しかも大多数」が出る——具体的な超越数を1つも作らずに、です。個々の数の超越性の証明は難しく、 $e$ （エルミート、1873）、 $\pi$ （リンデマン、1882）が示され、 $\pi$ の超越性は「円積問題（円と同じ面積の正方形を定規とコンパスで作図する）が不可能」を導きます（次章の作図問題）。

注意超越拡大と超越次数

$\alpha$ が超越的なら $K(\alpha)\cong K(x)$ （有理関数体、無限次拡大）で、 $K[\alpha]\ne K(\alpha)$ （代数的な場合と違い、多項式だけでは体にならない）。超越拡大は「代数的独立な元の個数」＝超越次数で測る。 $\mathbb C/\mathbb Q$ は超越次数が非可算。超越拡大の理論は代数幾何の関数体で本質的。

つまずきポイント

注意よくある誤解

有限 ⇒ 代数だが、逆は偽。 $\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q$ は代数拡大だが無限次。「有限生成な代数拡大」は有限次。
代数的元の和・積が代数的なのは非自明。 塔の公式で $K(\alpha,\beta)$ が有限次だから従う。多項式を直接作る必要はない。
超越数の存在は濃度で一発。 代数的数は可算、実数は非可算。だが個々の数の超越性の証明は難しい（ $e,\pi$ ）。
代数的なら $K[\alpha]=K(\alpha)$ 、超越的なら $K[\alpha]\ne K(\alpha)$ 。 超越的だと $K(\alpha)\cong K(x)$ （有理関数体）。

この章のまとめ

有限拡大 ⇒ 代数拡大（ $1,\alpha,\dots,\alpha^n$ が一次従属、線形代数一発）。逆は偽（ $\overline{\mathbb Q}$ ）。
代数的元の全体は中間体をなす（塔の公式で $K(\alpha,\beta)$ が有限次）。代数拡大の推移性（代数的の上の代数的は代数的）。ゆえ $\overline{\mathbb Q}$ （代数的数体）が定まる。
超越数は非可算個存在（カントールの濃度論）。 $\pi$ の超越性が円積問題の不可能性を導く。超越拡大は $K(x)$ 型で無限次。

代数的元・単拡大の道具が揃いました。次章は、多項式の全根を含む最小の体——分解体の存在と一意性を扱います。

第3章 代数拡大と超越拡大