第10章ストークスの定理

すべての積分定理が、この一行に集約される

微積分のベクトル解析で、 $3$ つの積分定理——グリーン・ストークス・ガウス——を学びました。そしてそれらが「内部の微分の積分＝境界の積分」という同じ形をしていること、統一形 $\int_{\partial\Omega}\omega=\int_\Omega d\omega$ が存在することも予告しました。多様体論を登ってきた今、その統一形を証明できます。

$\boxed{\ \int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega\ }$

これが一般ストークスの定理。左辺は多様体 $M$ の内部で $\omega$ を外微分して積分、右辺は境界 $\partial M$ の上で $\omega$ を積分。微積分の基本定理 $\int_a^b f'=f(b)-f(a)$ 、グリーン・ストークス・ガウスの定理は、すべてこのたった一つの式の特別な場合です。 $1$ 次元の $\int_a^b$ から $n$ 次元の積分定理まで、次元も対象も超えて一つに統一される——微分幾何、いや解析学全体の到達点の一つです。「内部と境界の双対性」が、 $d$ と $\partial$ の間の美しい対応として結晶します。

一般ストークスの定理 $\int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega$ 。微積分の基本定理・グリーン・ストークス・ガウスをすべて統一する。

一般ストークスの定理

定理ストークスの定理

$M$ を向きづけ可能なコンパクトな $n$ 次元境界付き多様体、 $\omega$ を $M$ 上の $(n-1)$ 形式（ $C^1$ ）とする。 $\partial M$ に誘導される向きを入れると $\int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega.$ （ $\partial M=\emptyset$ なら右辺は $0$ ：閉多様体上では $\int_M d\omega=0$ 。）

証明

（要点。） $1$ の分割で、 $\omega$ が $1$ つのチャート（半空間 $\mathbb H^n=\{x^1\ge0\}$ ）に台をもつ場合に帰着する。 $\omega=\sum_i f_i\,dx^1\wedge\cdots\widehat{dx^i}\cdots\wedge dx^n$ に対し、 $d\omega$ を計算して重積分し、各項に 微積分の基本定理（ $1$ 変数で $\int\partial_if_i\,dx^i$ を積分）を適用する。台がコンパクトなので、境界 $x^1=0$ からの寄与だけが残り、内部の項は消える（境界の外で $f_i=0$ ）。残った境界項が $\int_{\partial M}\omega$ 。∎

証明の核心は「各チャートで微積分の基本定理を使う」こと。 $n$ 次元の壮大な定理が、本質的には $1$ 変数の $\int_a^b f'=f(b)-f(a)$ の繰り返し。 $d$ が「内部の微分」、 $\partial M$ が「境界」で、両者の積分が等しい—— 外微分 $d$ と境界 $\partial$ が“双対（随伴）”であることの積分版です。この一式から、ベクトル解析の全定理が特別な場合として出ます。

すべての積分定理の統一

定理古典的積分定理の統一

一般ストークスの定理は、次元と形式の次数に応じてベクトル解析の各定理になる：

$n=1$ （区間 $[a,b]$ 、 $\omega=f$ は $0$ 形式）： $\int_{[a,b]}df=\int_{\{b\}-\{a\}}f$ 、すなわち $\int_a^b f'\,dx=f(b)-f(a)$ ——微積分学の基本定理。
$n=2$ （平面領域、 $\omega=P\,dx+Q\,dy$ ）： $\int_D(\partial_xQ-\partial_yP)\,dx\,dy=\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy$ ——グリーンの定理。
$n=2$ （空間内の曲面 $S$ 、 $\omega=$ $1$ 形式）： $\int_S\operatorname{rot}\mathbf F\cdot d\mathbf S=\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r$ ——（古典）ストークスの定理。
$n=3$ （立体 $V$ 、 $\omega=$ $2$ 形式）： $\int_V\operatorname{div}\mathbf F\,dV=\int_{\partial V}\mathbf F\cdot d\mathbf S$ ——ガウスの発散定理。

外微分 $d$ が $\operatorname{grad},\operatorname{rot},\operatorname{div}$ を統一した（第8章）ように、ストークスの定理がそれらの積分定理を統一します。「 $\omega$ の次数を変え、次元を変えると、 $\int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega$ が基本定理・グリーン・ストークス・ガウスに化ける」——微積分第12章で予告した統一が、多様体論の言葉で完全に実現しました。 $1$ 次元の $\int_a^b$ から $3$ 次元の発散定理まで、一つの式の姿です。

系：閉形式の積分と境界

系閉形式の積分と境界の消滅

閉形式の周期： $\omega$ が閉形式（ $d\omega=0$ ）で $C=\partial S$ （境界）なら $\int_C\omega=\int_S d\omega=0$ 。閉形式の「境界サイクル上の積分」は $0$ 。
完全形式の閉曲線積分： $\omega=d\eta$ （完全）なら閉曲線 $C$ （ $\partial C=\emptyset$ ）上で $\int_C\omega=\int_C d\eta=\int_{\partial C}\eta=0$ 。

「閉形式を境界の上で積分すると $0$ 」「完全形式を閉曲線上で積分すると $0$ 」——これらが、閉／完全のずれが穴を検出する仕組みの積分的な裏づけです。閉だが完全でない形式は、「境界でない閉曲線」（穴を囲むループ）の上で $0$ でない積分値をもつ——複素解析の $\oint\frac{dz}z=2\pi i$ がその典型。この「閉形式とサイクルのペアリング」が、次章のド・ラームコホモロジーとホモロジーを結ぶ橋になります。

つまずきポイント

注意よくある誤解

ストークスは「内部の $d$ ＝境界」。 $\int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega$ 。 $\omega$ は $(n-1)$ 形式、 $d\omega$ が $n$ 形式。次元と次数を合わせる。
すべての積分定理が特別な場合。 $n=1$ で基本定理、 $n=2$ でグリーン/ストークス、 $n=3$ でガウス。統一形。
向きづけ可能性が前提。 積分が定義できる向きづけ可能多様体で。境界の向きは誘導向き（符号が合う）。
証明の核心は各チャートでの基本定理。 $n$ 次元の定理が $1$ 変数の $\int f'=f(b)-f(a)$ の集積。

この章のまとめ

一般ストークスの定理 $\int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega$ 。証明は $1$ の分割＋各チャートで微積分の基本定理。 $d$ と $\partial$ （境界）の双対。
次元・次数に応じて **微積分の基本定理・グリーン・（古典）ストークス・ガウスの発散定理**に化ける。微積分第12章の統一が完全実現。
系：閉形式は境界サイクル上で積分 $0$ 。閉だが完全でない形式は穴を囲むサイクルで非零（複素解析）——次章のド・ラームへ。

最終部は、微分形式で穴を検出する——ド・ラームコホモロジーへ進みます。

第10章 ストークスの定理