第11章ド・ラームコホモロジー

微分形式が、空間の穴を教える

第8章で「完全形式は必ず閉形式だが、逆は空間に穴があると崩れる」と見ました。この閉／完全のずれが、実は多様体の穴の構造を捉えている——それがド・ラームコホモロジーです。微分形式という解析的な対象が、位相幾何の穴という位相的な情報を検出するのです。

最も鮮やかな例は複素解析でした。穴あき平面 $\mathbb R^2\setminus\{0\}$ で、 $1$ 形式 $\dfrac{-y\,dx+x\,dy}{x^2+y^2}$ （ $=d\theta$ ）は閉形式（ $d\omega=0$ ）なのに完全でない（大域的な角度 $\theta$ が多価だから）。この「閉だが完全でない $1$ 形式が $1$ つある」ことが、「 $\mathbb R^2\setminus\{0\}$ には穴が $1$ つある」を教える。ド・ラームコホモロジーは、この検出を全次元で系統化します。ホモロジーがサイクル／境界のずれで穴を数えたのと双対に、コホモロジーは閉形式／完全形式のずれで穴を数える。そして両者が一致する（次章のド・ラームの定理）—— 解析と位相が完全に出会う、この分野のクライマックスへの入口です。

ド・ラームコホモロジー $H^k_{\mathrm{dR}}=\ker d/\operatorname{im}d$ （閉形式／完全形式）。微分形式が位相の穴を検出する。

ド・ラームコホモロジー

定義ド・ラームコホモロジー

$d^2=0$ （第8章）より $\operatorname{im}(d:\Omega^{k-1}\to\Omega^k)\subseteq\ker(d:\Omega^k\to\Omega^{k+1})$ 。商 $H^k_{\mathrm{dR}}(M)=\frac{\ker(d:\Omega^k\to\Omega^{k+1})}{\operatorname{im}(d:\Omega^{k-1}\to\Omega^k)}=\frac{\text{閉 $k$ 形式}}{\text{完全 $k$ 形式}}$ をド・ラームコホモロジー群という（実ベクトル空間）。

「閉形式を完全形式で割る」—— $d^2=0$ が $\operatorname{im}\subseteq\ker$ を保証し（外微分が鎖複体をなす）、その商が定義できる。 $H^k_{\mathrm{dR}}$ の元は「閉だが完全でない形式」の同値類で、 $k$ 次元の穴を表します。次数を上げる $d$ のコホモロジーなので、これは微分形式で作ったコホモロジーです。基本的な計算は、 $0$ 次から始まります。

命題 H⁰ は連結成分

$H^0_{\mathrm{dR}}(M)=\ker(d:\Omega^0\to\Omega^1)=\{df=0\text{ の関数}\}=\{$ 局所定数関数 $\}\cong\mathbb R^{(\text{連結成分数})}$ 。

$df=0$ の関数は各連結成分で定数——だから $H^0$ は連結成分の数を数えます（ホモロジーの $H_0$ と同じ）。高次の $H^k$ を計算する鍵が、次のポアンカレの補題です。

ポアンカレの補題

「穴の無い（可縮な）空間では、閉形式は必ず完全」——これがポアンカレの補題です。第8章の「逆は穴があると崩れる」の、裏返しの正確な形。

定理ポアンカレの補題

可縮な多様体（例： $\mathbb R^n$ 、星型領域）では、 $k\ge1$ の閉形式はすべて完全。すなわち $H^k_{\mathrm{dR}}(\mathbb R^n)=\begin{cases}\mathbb R&(k=0)\\ 0&(k\ge1)\end{cases}.$ 一般に閉形式は局所的には完全（各点の近傍で $\omega=d\eta$ ）。

証明

（要点。） $\mathbb R^n$ 上で、 $0$ へ縮めるホモトピーを使い、閉形式 $\omega$ （ $d\omega=0$ ）に対し $\omega=d(K\omega)$ となる作用素（ホモトピー作用素 $K$ ）を明示的に構成する： $dK+Kd=\mathrm{id}$ （コホモロジーレベルで恒等が $0$ に）。 $d\omega=0$ なら $\omega=dK\omega$ 、完全。この $K$ は径数 $t$ に沿った積分で書ける。∎

「可縮な空間には穴が無いから、閉形式は必ず完全（ $H^k=0$ 、 $k\ge1$ ）」。ベクトル解析で「単連結領域では $\operatorname{rot}\mathbf F=0$ ⇒ 保存場（ポテンシャルが存在）」と言ったのは、まさにこのポアンカレの補題（ $1$ 形式が閉ならポテンシャル $f$ で $\omega=df$ ）です。局所的にはいつでも完全——大域的な障害が穴を表します。そして、この $H^k_{\mathrm{dR}}$ が位相不変であることが、ホモトピー不変性から出ます。

ホモトピー不変性

定理ド・ラームコホモロジーのホモトピー不変性

なめらかな写像 $f:M\to N$ は引き戻し $f^*$ で線形写像 $f^*:H^k_{\mathrm{dR}}(N)\to H^k_{\mathrm{dR}}(M)$ を誘導し（ $f^*$ が $d$ と可換だから）、 $f\simeq g$ （ホモトピック）なら $f^*=g^*$ 。ゆえ $M\simeq N$ （ホモトピー同値）なら $H^k_{\mathrm{dR}}(M)\cong H^k_{\mathrm{dR}}(N)$ 。

証明

引き戻しが $d$ と可換ゆえ $f^*$ はコホモロジーを誘導。ホモトピー $H$ からホモトピー作用素 $K$ （ $dK+Kd=g^*-f^*$ ）を作ると、コホモロジーで $f^*=g^*$ （位相幾何のホモトピー不変性の証明と同型の議論）。∎

「微分形式で作ったコホモロジーが、ホモトピー同値で不変」——だから $H^k_{\mathrm{dR}}$ は位相不変量です。可縮なら $H^k=0$ （ $k\ge1$ 、ポアンカレの補題）、変位レトラクトで単純化して計算できる。証明の構造は位相幾何のホモロジーのホモトピー不変性（鎖ホモトピー $\partial P+P\partial$ ）と完全に平行—— $\partial$ が $d$ に、鎖が形式に置き換わっただけ。解析（微分形式）と位相（ホモロジー）が同じ機械で動いていることが見えてきます。次章で、この平行が「同型」にまで高まります。

つまずきポイント

注意よくある誤解

$H^k_{\mathrm{dR}}$ ＝閉形式／完全形式。 「閉だが完全でない」形式が穴を検出。 $d^2=0$ が商を可能にする。実ベクトル空間。
ポアンカレの補題：可縮なら閉 ⇒ 完全。 局所的には常に完全。大域的な障害（穴）が $H^k\ne0$ 。「 $\operatorname{rot}=0$ ⇒ 保存場」の一般化。
$H^0$ ＝連結成分の数（ホモロジー $H_0$ と同じ）。局所定数関数。
ホモトピー不変（位相不変量）。 微分構造で作ったのに、位相（ホモトピー型）だけで決まる——次章のド・ラームの定理の伏線。

この章のまとめ

ド・ラームコホモロジー $H^k_{\mathrm{dR}}=\ker d/\operatorname{im}d$ （閉形式／完全形式、 $d^2=0$ が保証）。微分形式が位相の穴を検出する。 $H^0$ ＝連結成分。
ポアンカレの補題：可縮な空間では閉形式は完全（ $H^k=0$ 、 $k\ge1$ ）。局所的には常に完全——「 $\operatorname{rot}=0$ ⇒ 保存場」の一般化。ホモトピー作用素 $dK+Kd=\mathrm{id}$ 。
ホモトピー不変性： $M\simeq N$ なら $H^k_{\mathrm{dR}}$ 同型。位相不変量。証明は位相幾何のホモロジーと平行（ $\partial\leftrightarrow d$ ）。

最終章は、この平行が同型になる——ド・ラームの定理と具体的な計算で分野を締めくくります。

第11章 ド・ラームコホモロジー