第8章外微分

勾配・回転・発散を、一つの操作に

ベクトル解析には勾配 $\operatorname{grad}$ 、回転 $\operatorname{rot}$ 、発散 $\operatorname{div}$ という $3$ つの微分がありました。そして $\operatorname{rot}\operatorname{grad}=0$ 、 $\operatorname{div}\operatorname{rot}=0$ という不思議な恒等式も。これらは実は、外微分というたった一つの操作 $d$ の $3$ つの顔なのです。

外微分 $d:\Omega^k\to\Omega^{k+1}$ は、微分形式の階数を $1$ 上げる微分。 $0$ 形式（関数）に施すと勾配、 $1$ 形式に施すと回転、 $2$ 形式に施すと発散——次元によって $\operatorname{grad},\operatorname{rot},\operatorname{div}$ に化けます。そして $\operatorname{rot}\operatorname{grad}=0$ 等は、すべて $d^2=0$ （ $d$ を $2$ 回施すと $0$ ）という一つの等式。ホモロジーの $\partial^2=0$ と鏡映をなす、微分幾何の核心です。この $d$ と $d^2=0$ が、次章の積分・ストークスの定理、そしてド・ラームコホモロジー（穴を微分形式で検出する）の土台になります。

外微分 $d:\Omega^k\to\Omega^{k+1}$ は階数を上げる微分。 $\operatorname{grad},\operatorname{rot},\operatorname{div}$ を統一。 $d^2=0$ が $\operatorname{rot}\operatorname{grad}=0$ 等の正体。

外微分

定義外微分

$d:\Omega^k(M)\to\Omega^{k+1}(M)$ を、次を満たす唯一の線形作用素として定める：

$0$ 形式（関数） $f$ には $df=\sum_i\dfrac{\partial f}{\partial x^i}dx^i$ （第4章の微分）。
次数つきライプニッツ則： $d(\alpha\wedge\beta)=d\alpha\wedge\beta+(-1)^p\alpha\wedge d\beta$ （ $\alpha$ は $p$ 形式）。
$d\circ d=0$ 。

座標では $\omega=\sum a_I\,dx^I$ （ $dx^I=dx^{i_1}\wedge\cdots$ ）に対し $d\omega=\sum da_I\wedge dx^I$ 。

外微分は「係数関数を微分して $dx$ を一つ増やす」操作。チャートに依らず定まり（座標変換で不変）、多様体上の自然な微分です。決定的な性質が $d^2=0$ です。

定理 d² = 0

$d(d\omega)=0$ （すべての形式 $\omega$ ）。

証明

$0$ 形式 $f$ について、 $d(df)=d\big(\sum_i\partial_if\,dx^i\big)=\sum_{i,j}\partial_j\partial_if\,dx^j\wedge dx^i$ 。 $\partial_j\partial_if=\partial_i\partial_jf$ （シュワルツの定理、偏微分の順序交換）で対称、 $dx^j\wedge dx^i=-dx^i\wedge dx^j$ で反対称ゆえ、和が打ち消し合って $0$ 。一般の形式へはライプニッツ則で拡張。∎

$d^2=0$ の証明の心は「偏微分は対称（シュワルツ）、ウェッジは反対称、掛けると消える」。この一行が、ベクトル解析の $2$ つの恒等式を統一します。

例 ℝ³ で grad・rot・div を統一

$\mathbb R^3$ で、第7章の対応（関数 ↔ $0$ 形式、ベクトル場 ↔ $1$ 形式や $2$ 形式）のもとで：

$df$ （ $0$ 形式 → $1$ 形式）＝ $\operatorname{grad}f$ 。
$d(1\text{形式})$ （→ $2$ 形式）＝ $\operatorname{rot}$ 。
$d(2\text{形式})$ （→ $3$ 形式）＝ $\operatorname{div}$ 。

そして $d^2=0$ は： $d(df)=0$ ＝ $\operatorname{rot}\operatorname{grad}=0$ 、 $d(d(1\text{形式}))=0$ ＝ $\operatorname{div}\operatorname{rot}=0$ 。ベクトル解析の $3$ つの微分と $2$ つの恒等式が、 $d$ と $d^2=0$ に完全に統一される。

閉形式と完全形式

$d^2=0$ から、 $2$ 種類の重要な形式が生まれます。次章以降の主役です。

定義閉形式・完全形式

$d\omega=0$ を満たす形式 $\omega$ を閉形式、 $\omega=d\eta$ と書ける形式を完全形式という。 $d^2=0$ より、完全形式は必ず閉形式（ $d(d\eta)=0$ ）。逆（閉 ⇒ 完全）は一般には成り立たない——その差がド・ラームコホモロジーで、多様体の穴を検出する。

「完全 ⇒ 閉」は常に真（ $d^2=0$ ）ですが、逆「閉 ⇒ 完全」は空間に穴があると崩れます。この閉だが完全でない形式が穴の存在を教える——ベクトル解析で「 $\operatorname{rot}=0$ だが保存場でない」（穴あき領域）と同じ現象です。この「閉／完全のずれ」を測るのがド・ラームコホモロジー（第11章）。まさにホモロジーの「サイクル／境界のずれ」の双対です。

引き戻し

写像で微分形式を「引き戻す」操作を定めます。積分の変数変換の一般化で、 $d$ と可換なのが重要です。

定義引き戻し

なめらかな写像 $f:M\to N$ と $N$ 上の $k$ 形式 $\omega$ に対し、引き戻し $f^*\omega$ （ $M$ 上の $k$ 形式）を、接ベクトルを微分 $df$ で押し出して $\omega$ に渡すことで定める： $(f^*\omega)(v_1,\dots,v_k)=\omega(df\,v_1,\dots,df\,v_k)$ 。

定理引き戻しの性質

$f^*(\alpha\wedge\beta)=f^*\alpha\wedge f^*\beta$ 、そして** $f^*$ は外微分と可換**： $d(f^*\omega)=f^*(d\omega)$ 。

「 $f^*$ が $d$ と可換」は、外微分が座標・写像に依らない自然な操作であることの現れです。この可換性が、積分の変数変換（引き戻して積分）と、ド・ラームコホモロジーの関手性（写像がコホモロジーの準同型を誘導）を支えます。ベクトル場の押し出し（第4章）と違い、微分形式は引き戻し（向きが逆）が自然——余接的な量だからです。

つまずきポイント

注意よくある誤解

$d$ は階数を $1$ 上げる（ $\Omega^k\to\Omega^{k+1}$ ）。 ホモロジーの $\partial$ （下げる）と逆向き、コホモロジーの $\delta$ と同じ。
$d^2=0$ はシュワルツの定理（偏微分の対称）＋ウェッジの反対称。 $\operatorname{rot}\operatorname{grad}=0$ 、 $\operatorname{div}\operatorname{rot}=0$ の統一。
完全 ⇒ 閉は常に真、逆は穴があると偽。 そのずれが穴を検出。「 $\operatorname{rot}=0$ だが保存場でない」の一般化。
微分形式は引き戻し（ $f^*$ 、共変・向き逆）が自然。 ベクトル場は押し出し（ $f_*$ 、反変）。 $f^*$ は $d$ と可換。

この章のまとめ

外微分 $d:\Omega^k\to\Omega^{k+1}$ （階数を上げる、 $df=\sum\partial_if\,dx^i$ 、ライプニッツ則）は $\mathbb R^3$ で $\operatorname{grad},\operatorname{rot},\operatorname{div}$ を統一。
$d^2=0$ （シュワルツの対称＋ウェッジの反対称）＝ $\operatorname{rot}\operatorname{grad}=0,\operatorname{div}\operatorname{rot}=0$ の正体。ホモロジーの $\partial^2=0$ の双対。
完全 ⇒ 閉（常に真）、逆は穴があると偽（ド・ラームで検出）。引き戻し $f^*$ は $d$ と可換で、変数変換・関手性を支える。

次章は、微分形式を実際に積分するための準備——向き付けと多様体上の積分を扱います。

第8章 外微分